Question

已知奇函數f（x）的定義域為R，且f（x）在[0，+∞）上是增函數，是否存在實數m使得f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞f（0），對一切θ∈[0，

π

2

]都成立？若存在，求出實數m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：根據奇函數f（x）的定義域為R，可求得f（0）=0，再利用f（x）在[0，+∞）上是增函數，可將f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞f（0）化為cos²θ-mcosθ+2m-2＞0，令t=cosθ構造函數
f（t），f（t）=t²-mt+2m-2，（0≤t≤1）．根據其對稱軸與區間[0，1]的關系可分類討論求得m的取值范圍．

解答：解：設存在實數m使得f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞f（0）對一切θ∈[0，

π

2

]都成立，
∵奇函數f（x）的定義域為R，
∴f（0）=0，
∴f（cos2θ-3）＞f（2mcosθ-4m）恒成立，
又∵f（x）在R上單調遞增，
∴cos2θ-3＞2mcosθ-4m，
∴2cos²θ-4＞2mcosθ-4m，
∴cos²θ-mcosθ+2m-2＞0．
設t=cosθ，由θ∈[0，

π

2

]可知t∈[0，1]，
∴f（t）=t²-mt+2m-2，（0≤t≤1）．
（1）當

m

2

≤0即m≤0時f（t）_min=f（0）=2m-2＞0，
∴m＞1（舍）  
（2）當

m

2

≥1即m≥2時f（t）_min=f（1）=m-1＞0，
∴m≥2；
（3）當0＜

m

2

＜1，即0＜m＜2時，f（t）_min=f（

m

2

）=-m²+8m-8＞0，
∴4-2

2

＜m＜4+2

2

，
∴4-2

2

＜m＜2．
綜上所述，m＞4-2

2

．

點評：本題考查復合三角函數的單調性，考查轉化思想與分類討論思想的應用，考查解不等式組的能力與運算能力，屬于中檔題．