Question

已知正方形ABCD的邊長為2，，
將正方形ABCD沿對角線BD折起，使，得到三棱錐，如圖所示。
（1）當a=2時，求證：平面BCD；
（2）當二面角的大小為時，
求二面角的正切值。

Answer 1

（1）見解析；（2）.

本試題主要考查了立體幾何中的二面角的求解線面垂直的證明。
（1）證明：根據題意，在中，，
所以                                    2分
因為AC、BD是正方形ABCD的對角線，所以
因為所以    4分
（2）解：由（1）知，，以O為原點，OC，OD所在的直線分別為x軸，y軸建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz,則
.
設   6分
又設平面ABD的法向量為，
則 
所以所以                           8分
因為平面BCD的一個法向量且二面角A-BD-C的大小為，
所以，因為
解得。         9分
設平面ABC的法向量為
 令
所以                                                  10分
設二面角A-BC-D的平面角為，
所以 所以
所以二面角A-BC-D的正切值為.                                  12分