Question

13．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-\frac{2}{x}，（x＞\frac{1}{2}）}\\{{x}^{2}+2x+a-1，（x≤\frac{1}{2}）}\end{array}\right.$（其中a＞0，a為常數），求函數f（x）的零點．

Answer 1

分析 根據分段函數和函數零點的定義，分類討論，即可求出函數的零點．

解答 解：①x＞$\frac{1}{2}$時，f（x）=0，即x-$\frac{2}{x}$=0，解得x=$\sqrt{2}$；
②當x≤$\frac{1}{2}$時，f（x）=x²+2ax+a-1，△=4-4（a-1）=8-4a，
當a＞2時，△＜0，f（x）=0無實根；     
當a=2時，△=0，f（x）=0，解得x=-1
∵x∈（-∞，$\frac{1}{2}$]，
∴f（x）有一個零點-1            
當0＜a＜2時，△＞0，x²+2ax+a-1=0，解得x=-1±$\sqrt{2-a}$，
∵-1-$\sqrt{2-a}$＜0＜$\frac{1}{2}$，-1+$\sqrt{2-a}$＜-1+$\sqrt{2}$＜$\frac{1}{2}$，
∴-1±$\sqrt{2-a}$都是f（x）的零點．                                
綜上所述，當a＞2時，f（x）的零點為：$\sqrt{2}$；
當a=2時，f（x）的零點為：$\sqrt{2}$和-1，
當0＜a＜2時，f（x）的零點為：$\sqrt{2}$和-1+$\sqrt{2-a}$，-1-$\sqrt{2-a}$

點評 本題考查了分段函數的零點，關鍵是分類討論，屬于中檔題