Question

已知：asinx+bcosx=0  ①，Asin2x+Bcos2x=C   ②，其中a，b不同時為0，求證：2abA+（b²-a2）B+（a²+b²）C=0

Answer 1

分析：可先設siny=-

b

a2+b2

，cosy=

a

a2+b2

，通過①可得x=y+kπ，進而可求出sin2x和cos2x代入 ②即可得證．

解答：證明：設siny=-

b

a2+b2

，cosy=

a

a2+b2

則①可寫成cosysinx-sinycosx=0，
∴sin（x-y）=0∴x-y=kπ（k為整數），
∴x=y+kπ
又sin2x=sin2（y+kπ）=sin2y=2sinycosy=-

2ab

a2+b2

cos2x=cos2y=cos²y-sin²y=

a2-b2

a2+b2

代入②，
得-

2abA

a2+b2

+

(a2-b2)B

a2+b2

=C，
∴2abA+（b²-a²）B+（a²+b²）C=0．

點評：本題主要考查三角函數恒等式的證明．證明此類問題時應考慮：異名化同名，異角化同角，公式的正用、逆用、變形用．