Question

如圖，在邊長為l的等邊△ABC中，圓O₁為△ABC的內切圓，圓O₂與圓O₁外切，且與AB，BC相切，…，圓O_n+1與圓O_n外切，且與AB，BC相切，如此無限繼續下去．記圓O_n的面積為a_n（n∈N）．
（Ⅰ）證明{a_n}是等比數列；
（Ⅱ）求（a₁+a₂+…+a_n）的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）記r_n為圓O_n的半徑，
則，，
于是，
由此可知{a_n}成等比數列．

（Ⅱ）由，能夠導出（a₁+a₂+…+a_n）的值．
解答：（Ⅰ）證明：記r_n為圓O_n的半徑，
則，

所以，
于是，

故{a_n}成等比數列．
（Ⅱ）解：因為，
所以
點評：本題主要考查數列、數列極限、三角函數等基本知識，解題時要注意提高邏輯思維能力．