Question

在xoy平面上有一系列點P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）…，P_n（x_n，y_n），…，（n∈N*），點P_n在函數y=x²（x≥0）的圖象上，以點P_n為圓心的圓P_n與x軸都相切，且圓P_n與圓P_n+1又彼此外切．若x₁=1，且x_n+1＜x_nx₁=1．
（I）求數列{x_n}的通項公式；
（II）設圓P_n的面積為S_n，，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意圓P_n與P_n+1彼此外切，利用兩圓外切等價于兩圓心距等于圓的半徑，化簡出數列{x_n}的遞推關系，進而得到數列{x_n}的通項公式．
（II）由于圓P_n的面積為S_n利用圓的面積公式求出，又有題中T_n的式子特點，利用裂項相消法，求出T_n，在利用簡單的去一項即可得證．
解答：解：（I）圓P_n與P_n+1彼此外切，令r_n為圓P_n的半徑，
∴|P_nP_n+1|=r_n+r_n+1即
兩邊平方并化簡得（x_n-x_n+1）²=4y_ny_n+1
由題意得，圓P_n的半徑r_n=y_n=x_n²，（x_n-x_n+1）²=4x_n²x_n+1²
∵x_n＞x_n+1＞0；∴x_n-x_n+1=2x_nx_n+1，即
∴數列是以為首項，以2為公差的等差數列，
所以+（n-1）×2=2n-1，即
（II），
因為


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所以，
點評：此題重點考查了兩元相外切的等價條件，還考查了有數列的遞推關系求其通項公式，及裂項相消的求和方法，還考查了去一項進行了簡單的放縮．