Question

在xOy平面上有一系列點P₁（x₁,y₁）,P₂(x₂,y₂),…，P_n(x_n,y_n),…,對每個自然數n,點P_n位于函數y=x²(x≥0)的圖象上，以點P_n為圓心的⊙P_n與x軸都相切，且⊙P_n與⊙P_n+1又彼此外切.若x₁=1且x_n+1＜x_n?(n∈N^*).

(1)求證：數列{1x_n}是等差數列；

(2)設⊙P_n的面積為S_n,T_n=+…+,求證：T_n＜.

Answer 1

(1)證明：依題意，⊙P_n的半徑r_n=y_n=x_n²,∵⊙P_n與⊙P_n+1彼此外切，∴|P_nP_n+1|=r_n+r_n+1|,∴=y_n+y_n+1，兩邊平方，化簡得（x_n-x_n+1）²=4y_ny_n+1,即：（x_n-x_n+1）²=4x_n²x_n+1².∵0＜x_n+1＜x_n,∴x_n-x_n+1=2x_nx_n+1=2(n∈N^*).所以數列{}是等差數列；

(2)解析：由題設，∵x₁=1,∴=+(n-1)·2x_n=,

∴S_n=πr_n²=πy_n²=πx_n⁴=,

T_n=+…+=［1++…+］

≤［1++…+］=［1+(1-)］=

＜.