Question

在xoy平面上有一系列點P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），…，對每個正整數n，以點P_n為圓心的⊙P_n與x軸及射線y=x，（x≥0）都相切，且⊙P_n與⊙P_n+1彼此外切．若x₁=1，且x_n+1＜x_n（n∈N^*）．
（1）求證：數列{x_n}是等比數列，并求數列{x_n}的通項公式；
（2）設數列{a_n}的各項為正，且滿足a_n≤=1，
求證：a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃+…+a_nx_n＜，（n≥2）
（3）對于（2）中的數列{a_n}，當n＞1時，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）由圓Pn與P（n+1）相切，且P（n+1）與x軸相切可知R_n=Y_n，R_（n+1）=Y_（n+1），且兩圓心間的距離就等于兩半徑之和進而得到，整理得證．
（2）由，可證，進而得從而可證
（3）先證a₁＞a₂＞…＞a_n＞0，再令：，從而利于放縮法可證．
解答：解：（1）點列P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），…必在射線，
∴為⊙P_n的半徑，
∵⊙P_n與⊙P_n+1外切，
∴①…（3分）
化簡①式得：3x_n+1²-10x_nx_n+1+3x_n²=0，解得：x_n+1=3x_n或，
∵x_n+1＜x_n，∴，∴數列{x_n}是等比數列，∵x₁=1，則…（5分）
（2），而a_n＞0，x_n＞0，
∴，∴，∵a₁=1，
∴
∴…（8分）
設
∵
當n=2時，，必有S₂＜T₂
當n＞2時，
∵
∴=…（13分）
（3）∵，∴1=a₁＞a₂＞…＞a_n＞0
令：，則=…（18分）
∵0＜a₂＜∴=…20分．
點評：本題以相切為素材，考查數列與解析幾何的綜合，考查數列與不等式，技巧性強，難度大．