Question

5．已知sin（α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{2}{3}$，α∈（π，$\frac{3π}{2}$），cos（$\frac{π}{3}$+β）=$\frac{5}{13}$，β∈（0，π），求cos（β-α）的值．

Answer 1

分析 由條件求得cos（α+$\frac{π}{3}$ ）的值，可得sin （α+$\frac{π}{3}$ ）的值，再求得sin（$\frac{π}{3}$+β）的值，再根據cos（β-α）=cos[（β+$\frac{π}{3}$）-（α+$\frac{π}{3}$）]，計算求得結果．

解答 解：sin（α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{2}{3}$=-cos（α-$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{2}$）=-cos（α+$\frac{π}{3}$ ），即cos（α+$\frac{π}{3}$ ）=-$\frac{2}{3}$，
∵α∈（π，$\frac{3π}{2}$），∴sin （α+$\frac{π}{3}$ ）=-$\sqrt{{1-cos}^{2}（α+\frac{π}{3}）}$=-$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
∵cos（$\frac{π}{3}$+β）=$\frac{5}{13}$，β∈（0，π），∴$\frac{π}{3}$+β為銳角，
故sin（$\frac{π}{3}$+β）=$\sqrt{{1-cos}^{2}（β+\frac{π}{3}）}$=$\frac{12}{13}$，
∴cos（β-α）=cos[（β+$\frac{π}{3}$）-（α+$\frac{π}{3}$）]=cos（$\frac{π}{3}$+β）cos（$\frac{π}{3}$+α）+sin （$\frac{π}{3}$+β）sin（$\frac{π}{3}$+α）
=$\frac{5}{13}•（-\frac{2}{3}）$+（-$\frac{\sqrt{5}}{3}$）•$\frac{12}{13}$=-$\frac{10+12\sqrt{5}}{39}$．

點評 本題主要考查同角三角函數的基本關系、誘導公式、兩角差的余弦公式的應用，以及三角函數在各個象限中的符號，屬于中檔題．