Question

已知數列{a_n}的前n項和的公式是Sn=

π

12

(2n2+n)．
（1）求證：{a_n}是等差數列，并求出它的首項和公差；
（2）記b_n=sina_n•sina_n+1•sina_n+2，求出數列{a_n•b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用利用數列中a_n與 S_n關系a_n=

S1n=1 Sn-Sn-1n≥2

．求出a_n，再進行證明．
（2）證出數列{b_n}是等比數列，再利用錯位相消法求解．

解答：解：當n=1時，

a1=S1= π 4

當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

π

12

(2n2+n)-

π

12

[2(n-1)2+(n-1)]=

π

12

(4n-1)
所以a_n=

π

12

(4n-1)．a_n-a _n-1=

π

3

，所以{a_n}是等差數列，它的首項為

π

4

和公差為

π

3

；
（2）b₁=sina₁•sina₂•sina₃=sin

π

4

sin

7π

12

sin

11π

12

=

2

2

×(-

1

2

)×(cos

18π

12

-cos

4π

12

)=

2

8

bn

bn-1

=

sinan-2

sinan-1

=

sin(an-1+π)

sinan-1

=

-sinan-1

sinan-1

=-1，數列{b_n}是等比數列，首項為

2

8

，公比為-1．
所以b_n=

2

8

(-1)n-1，a_nb_n=

2 π

96

(-1)n-1(4n-1)．
錯位相減法得T_n=

2 π

192

[1-(-1)n(4n+1)]

點評：本題考查數列性質的判定，通項公式求解，錯位相消法求和，考查計算能力．