Question

已知橢圓的中心在原點，準線方程為x=±4，如果直線：3x-2y=0與橢圓的交點在x軸上的射影恰為橢圓的焦點．
(1)求橢圓方程；
(2)設直線與橢圓的一個交點為P，F是橢圓的一個焦點，試探究以PF為直徑的圓與橢圓長軸為直徑的圓的位置關系；
(3)把(2)的情況作一推廣：寫出命題（不要求證明）

Answer 1

解：(1)設橢圓方程為 (a>b>0)
直線3x-2y=0與橢圓的一個交點的坐標是，代入橢圓方程得：
  又   a²=b²+c²
∴ a=2    C=1
∴               ………………5分
(2)由(1)知，直線與橢圓的一個交點為，F(1,0)，則從PF為直徑的圓的方程，圓心為，半徑為
以橢圓長軸為直徑的圓的方程為x²+y²=4，圓心(0，0)，半徑為2
兩圓圓心之間距離為
∴兩圓內切              ………………8分
P、F為其它三種情況時，兩圓都為內切    ………………10分
(3)如果橢圓的方程是 (a>b>0)，P是橢圓上的任意一點，F是橢圓的一個焦點，則以PF長為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓是內切關系。                   …………13分
（如P寫成橢圓上的定點，此問只給1分）

略