Question

19．設數列{a_n}的前n項和為S_n，且{${\frac{S_n}{n}}\right.$}是等差數列，已知a₁=1，$\frac{S_2}{2}$+$\frac{S_3}{3}$+$\frac{S_4}{4}$=6．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列b_n=$\frac{{{a_{n+1}}}}{{{a_{n+2}}}}$+$\frac{{{a_{n+2}}}}{{{a_{n+1}}}}$-2，數列{b_n}的前n項和為T_n，求證：T_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用等差數列的通項公式與求和公式即可得出．
（2）由（1）知${b_n}=\frac{n+1}{n+2}+\frac{n+2}{n+1}-2=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，利用“裂項求和”即可得出．

解答 解：（1）由題意可得 $3×\frac{S_1}{1}+6d=6，{S_1}={a_1}=1$，
∴$d=\frac{1}{2}$，∴$\frac{S_n}{n}=1+\frac{n-1}{2}=\frac{n+1}{2}$，
∴${S_n}=\frac{{n（{n+1}）}}{2}$，
∴當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n，當n=1時也成立，
∴a_n=n．
（2）由（1）知${b_n}=\frac{n+1}{n+2}+\frac{n+2}{n+1}-2=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，
∴${T_n}={b_1}+{b_2}+…+{b_n}=（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}）+（{\frac{1}{3}-\frac{1}{4}}）+（{\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}}）=\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$，
∵$\frac{1}{n+2}＞0$，∴${T_n}=\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}＜\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了“裂項求和方法”、等差數列的通項公式與求和公式、數列的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．