Question

（本小題14分）如圖，已知某橢圓的焦點是，過點并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點為B，且，橢圓上不同的兩點滿足條件：、、成等差數列．

（Ⅰ）求該橢圓的方程；

（Ⅱ）求弦中點的橫坐標；

（Ⅲ）設弦的垂直平分線的方程為，求m的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）中點的橫坐標為；（Ⅲ）．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）根據題意及橢圓的定義可知，所求橢圓的焦點為，長軸為，再利用，進一步求得橢圓的標準方程；（Ⅱ）根據橢圓的第二定義知，

，同時由成等差數列得到：，所以的中點坐標為；（Ⅲ）設帶入橢圓方程利用點差法得到：再利用中點坐標公式和斜率公式，得到：（當時也成立）①，點在弦的垂直平分線上，得到②．聯立①②，得到，又因為點在線段上，所以，進而求得的取值范圍為：．

試題解析：（Ⅰ）由橢圓定義及條件知，,得a=5,又c=4,

所以b==3．故橢圓方程為：．

（Ⅱ）由點在橢圓上，得．因為橢圓右準線方程為,離心率為，根據橢圓定義，有，

由、、成等差數列，得

,由此得出：．

設弦的中點為,則．

（Ⅲ）：由在橢圓上．

得

①－②得，

即9=0（x1≠x2）

將 （k≠0）代入上式，

得 即（當k=0時也成立）．

由點在弦的垂直平分線上，得,

所以．

由點在線段（與B關于x軸對稱）的內部，得,所以

考點：1．橢圓的標準方程；2．中點坐標公式；3．點差法．