Question

設x₁、x₂是區間D上的任意兩點，若函數y=f(x)滿足f(成立,則稱函數y=f(x)在區間D上下凸.

(1)證明函數f(x)=x+在區間(0,+∞)上下凸.

(2)若函數y=f(x)在區間D上下凸,則對任意的x₁,x₂,…,x_n∈D 有.試根據下凸倒數的這一性質,證明若x₁,x₂,…,x_n∈(0,+∞),則(x₁+x₂+…+x_n)≥n².

(文)已知S_n是等比數列{a_n}的前n項和,且a₃,a₉,a₆成等差數列,問:S₃,S₉,S₆是否成等差數列?

Answer 1

答案：(理)證明:(1)設x₁＞0,x₂＞0,則f()-［f(x₁)+f(x₂)］

=

===≤0,

∴f()≤［f(x₁)+f(x₂)］.由定義可知f(x)=x+在區間(0,+∞)上下凸.

(2)由(1)可知f(x)=x+在(0,+∞)上下凸,

根據性質,有

∴.

∵x₁,x₂,…,x_n∈(0,+∞),∴x₁+x₂+…+x_n＞0.

上述可化為(x₁+x₂+…+x_n)≥n².

(文)解：由a₃,a₉,a₆成等差數列，可得a₃+a₆=2a₉,即a₁q²+a₁q⁵=2a₁q⁸.

∵a₁q²≠0,∴1+q³=2q⁶.

當q≠1時，S₃+S₆==2S₉,

∴S₃,S₉,S₆成等差數列.

當q=1時，S₃+S₆=3a₁+6a₁=9a₁,而2S₉=18a₁.

∵a₁≠0,∴S₃+S₆≠2S₉.∴S₃,S₉,S₆不成等差數列.

綜合,得當q≠1時，S₃,S₉,S₆成等差數列，當q=1時，S₃,S₉,S₆不成等差數列.