Question

定義:若對于給定區間D內任意的實數x₁和x₂,都有f()≥［f(x₁)+f(x₂)］,則稱函數f(x)是區間D上的上凸函數.上凸函數有如下的性質:

若在上凸函數f(x)的圖象上依次取n個(n≥3)點P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂),…,P_n(x_n,y_n),則凸n邊到P₁P₂P₃…P_n的重心G()必在函數y=f(x)的圖象下方或圖象上.

運用上述定義或性質證明.

(1)f(x)=lgx在區間(0,+∞)上是上凸函數;

(2)設x₁,x₂,…,x_n為正實數,則.

Answer 1

解析：第(1)小題可根據上凸函數的定義證明;?第(2)?小題需要先構造一個上凸函數〔可利用第(1)小題的結論〕,然后再根據上凸函數的性質加以證明.

證明：(1)設x₁,x₂,…,x_n為正實數,則

f()［f(x₁)+f(x₂)］=lg (lgx₁+lgx₂)=lg=lg.

∵x₁,x₂,…,x_n為正實數,

∴x₁+x₂≥,即≥1.

又y=f(x)在(0,+∞)上是增函數,∴lg()≥0.

∴f()≥［f(x₁)+f(x₂)］.

根據定義,函數y=lgx是區間(0,+∞)上的上凸函數.

(2)由(1)知,f(x)=lgx在區間(0,+∞)上是上凸函數.

設P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂),…,P_n(x_n,y_n)依次是上凸函數y=lgx上的n個(n≥3)點,根據上凸函數的性質,有

［f(x₁)+f(x₂)+…+f(x_n)］,

即lg(x₁x₂…x_n),

亦即.

∵y=lgx在(0,+∞)上是增函數,∴.