Question

若函數f（x）對任意的實數x₁，x₂∈D，均有|f（x₂）-f（x₁）|≤|x₂-x₁|，則稱函數f（x）是區間D上的“平緩函數”，
（1）判斷g（x）=sinx和h（x）=x²-x是不是實數集R上的“平緩函數”，并說明理由；
（2）若數列{x_n}對所有的正整數n都有 |xn+1-xn|≤

1

(2n+1)2

，設y_n=sinx_n，求證：|yn+1-y1|＜

1

4

．

Answer 1

（1）g（x）=sinx是R上的“平緩函數，但h（x）=x²-x不是區間R的“平緩函數”；
設φ（x）=x-sinx，則φ'（x）=1-cosx≥0，則φ（x）=x-sinx是實數集R上的增函數，
不妨設x₁＜x₂，則φ（x₁）＜φ（x₂），即x₁-sinx₁＜x₂-sinx₂，
則sinx₂-sinx₁＜x₂-x₁，①
又y=x+sinx也是R上的增函數，則x₁+sinx₁＜x₂+sinx₂，
即sinx₂-sinx₁＞x₁-x₂，②
由  ①、②得-（x₂-x₁）＜sinx₂-sinx₁＜x₂-x₁
因此|sinx₂-sinx₁|＜|x₂-x₁|，對x₁＜x₂的實數都成立，
當x₁＞x₂時，同理有|sinx₂-sinx₁|＜|x₂-x₁|成立
又當x₁=x₂時，不等式|sinx₂-sinx₁|=|x₂-x₁|=0，
故 對任意的實數x₁，x₂∈R均 有|sinx₂-sinx₁|≤|x₂-x₁|
因此 sinx是R上的“平緩函數．
由于|h（x₁）-h（x₂）|=|（x₁-x₂）（x₁+x₂-1）|
取x₁=3，x₂=1，則|h（x₁）-h（x₂）|=4＞|x₁-x₂|，
因此，h（x）=x²-x不是區間R的“平緩函數”．
（2）由（1）得：sinx是R上的“平緩函數，則|sinx₂-sinx₁|≤|x₂-x₁|，所以|y_n+1-y_n|≤|x_n+1-x_n|，
而|xn+1-xn|≤

1

(2n+1)2

，
所以 |yn+1-yn|≤

1

(2n+1)2

＜

1

4n2+4n

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)
而|y_n+1-y₁|=|（y_n+1-y_n）+（y_n-y_n-1）+（y_n-1-y_n-2）+…（y₂-y₁）|
所以|y_n+1-y₁|≤|y_n+1-y_n|+|y_n-1-y_n-2|+…+|y₂-y₁|，
則 |yn+1-y1|≤

1

4

[(

1

n

-

1

n+1

)+(

1

n-1

-

1

n

)+…+(1-

1

2

)]
因此 |yn+1-y1|≤

1

4

(1-

1

n+1

)＜

1

4

．