Question

已知a＞b≥c＞0，且2a²+

1

ab

+

1

a(a-b)

-4ac+4c²=4，則a+b+c=

2

2

．

Answer 1

分析：由于2a²+

1

ab

+

1

a(a-b)

-4ac+4c²=a²+

1

ab

+

1

a(a-b)

+（a-2c）²利用平方數的性質得到虐≥a²+

1

ab

+

1

a(a-b)

=（a-b）²+b²-2（a-b）b+

1

b(a-b)

，再利用基本不等式得到上式的最小值是4，根據等號成立的條件求出a=

2

  b=c=

2

2

，從而得出結果．

解答：解：2a²+

1

ab

+

1

a(a-b)

-4ac+4c²=a²+

1

ab

+

1

a(a-b)

+（a-2c）²
≥a²+

1

ab

+

1

a(a-b)

=a²+

1

b(a-b)

=[（a-b）+b]²+

1

b(a-b)

=（a-b）²+b²+2（a-b）b+

1

b(a-b)

≥2（a-b）b+2（a-b）b+

1

b(a-b)

=4（a-b）b+

1

b(a-b)

≥4，
所以其最小值是4
當且僅當a-b=b且a=2c時，4（a-b）b=

1

b(a-b)

時取等號
此時a=

2

，b=c=

2

2

，
∴a+b+c=2

2

．
故答案為：2

2

．

點評：本小題主要考查進行簡單的演繹推理、基本不等式的應用等基礎知識，考查運算求解能力，屬于基礎題．