Question

已知函數，且f（1）=0，當x＞0時，恒有．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若方程f（x）=lg（m+x）的解集是空集，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）正確運用對數的運算性質進行化簡轉化是解決本題的關鍵．通過代數式恒等列出關于a，b的方程進而確定出函數的解析式；
（2）將方程進行等價轉化是解決本小題的關鍵．利用一元二次方程的知識以及函數的定義域確定出關于實數m的不等式組．
解答：解：（1）、∵f（1）=0，∴①．
∵當x＞0時，恒有．
∴，即，所以，
所以得到，即，所以a+bx=ax+b，整理得（a-b）（x-1）=0，根據多項式恒等得出a=b，根據①解出a=b=1，從而函數f（x）的解析式為f（x）=lg．
（2）方程f（x）=lg（m+x）的解集是空集?的解集是空集
?的解集為空集，即的解集為空．
可以對m的取值進行討論：令g（x）=x²+（m-1）x+m
①當m＞0時，g（0）=m＞0，g（-1）=2＞0，可以判斷出上不等式組無解，故合題意；
②當m=0時，由于x²-x=0得出x=0或x=1，可知x=1適合原方程，故m=0不合題意；
③當m＜0時，g（-m）=2m＜0，可以確定原方程在定義域中有解，故不合題意．
綜上，使得方程f（x）=lg（m+x）的解集是空集，實數m的取值范圍是（0，+∞）．
點評：本小題考查了對數的運算性質，對數的運算等知識點，考查了對數問題的隱含條件----定義域的認識和理解，考查了二次方程根的有無問題，利用數形結合思想可以實現正確轉化與求解．