Question

如圖，三棱錐A-BCD中，AB⊥AD，AC⊥AD，∠BAC=θ（0＜θ≤

π

2

），且AB=AC=AD=2，E、F分別為AC、BD的中點，則EF的最大值為

 

．

Answer 1

分析：過F作FG⊥AB，垂足為G，連接GE，利用余弦定理求出EG，再根據勾股定理求出EF關于θ的函數式，依據θ的范圍求EF的最大值．

解答：解：過F作FG⊥AB，垂足為G，連接GE，
∵AD⊥AB，
∴AD∥FG，∴G為AB的中點，
∴FG=1，AG=1，
∵E為AC的中點，∴AE=1，∠BAC=θ，
∴EG=

12+12-2×1×1×cosθ

∵AD⊥平面ABC，∴FG⊥平面ABC，
在Rt△FGE中，EF=

EG2+FG2

=

2-2cosθ+1

=

3-2cosθ

，
∵0＜θ≤

π

2

，∴EF≤

3

．
故答案是

3

．

點評：本題考查了棱錐的結構特征及兩點間距離的求法，考查了學生的空間想象能力與計算能力．