Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側棱與底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB₁，M是A₁B₁的中點，N是AC₁與A₁C的交點．
（1）求證：MN∥平面BCC₁B₁；
（2）求證：MN⊥平面ABC₁．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：證明題,空間位置關系與距離

分析：（1）連結B₁C，可得MN∥B₁C，又因為MN?平面BCC₁B₁，B₁C?平面BCC₁B₁，即可判定MN∥平面BCC₁B₁．
（2）由AB⊥BB₁，又AB⊥BC，即可證明AB⊥平面BCC₁B₁，可得AB⊥CB₁，由正方形BCC₁B₁，可知B₁C⊥C₁B，由（Ⅰ）知MN∥B₁C，可得MN⊥AB，MN⊥C₁B，又AB，C₁B?平面ABC₁，AB∩C₁B=B，從而可判定MN⊥平面ABC₁．

解答： （本小題滿分12分）
證明：（1）連結B₁C …（1分）
因為M是B₁A₁的中點，N是AC₁與A₁C交點，
所以N是A₁C的中點．
所以MN∥B₁C…（3分）
又因為MN?平面BCC₁B₁，B₁C?平面BCC₁B₁
所以MN∥平面BCC₁B₁…（5分）
（2）因為BB₁⊥底面ABC，所以AB⊥BB₁，
又AB⊥BC，所以AB⊥平面BCC₁B₁，AB⊥CB₁…（7分）
由正方形BCC₁B₁，可知B₁C⊥C₁B   …（8分）
由（Ⅰ）知MN∥B₁C，所以MN⊥AB，MN⊥C₁B…（10分）
因為AB，C₁B?平面ABC₁，AB∩C₁B=B
所以MN⊥平面ABC₁．…（12分）

點評：本題主要考查了直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，考查了空間想象能力，屬于基本知識的考查．