Question

如圖，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC的中點，M，N分別是AE，CD₁的中點，AD=AA₁=a，AB=2a，
（Ⅰ）求證：MN∥平面ADD₁A₁；
（Ⅱ）求異面直線AE和CD₁所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）取CD的中點K，連結MK，NK，由線面平行的判定結合中位線定理，證出MK∥面ADD₁A₁，NK∥面ADD₁A₁，利用面面平行判定定理得到面MNK∥面ADD₁A₁，結合MN?面MNK，證出MN∥面ADD₁A₁；
（2）取A₁D₁的中點F，連結AF、EF，可得平行四邊形CEFD₁中EF∥CD₁，得∠AEF（或其補角）為異面直線AE和CD₁所成的角．△AEF中算出AE、AF、EF的長，利用余弦定理算出cos∠AEF=

8 85

85

，即得異面直線AE和CD₁所成角的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）取CD的中點K，連結MK，NK
∵長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N、K分別為AK、CD₁、CD的中點
∴MK∥AD，NK∥DD₁
∵MK、NK?面ADD₁A₁，AD?面ADD₁A₁，DD₁?面ADD₁A₁，
∴MK∥面ADD₁A₁，NK∥面ADD₁A₁
∵MK、NK是平面MNK內的相交直線
∴面MNK∥面ADD₁A₁
又∵MN?面MNK，∴MN∥面ADD₁A₁；
（Ⅱ）取A₁D₁的中點F，連結AF、EF，
則D1F

∥ .

.

CE，從而四邊形CEFD₁為平行四邊形，
∴EF∥CD₁，可得∠AEF（或其補角）為異面直線AE和CD₁所成的角 
在△AEF中，可得
AF=

5 a

2

，AE=

17 a

2

，EF=CD1=

5

a 
由余弦定理，得
cos∠AEF=

AE2+EF2-AF2

2AE•EF

=

8 85

85

 
∴異面直線AE和CD₁所成角的余弦值為

8 85

85

．

點評：本題給出長方體中，求證線面平行并求異面直線所成的角．著重考查了線面平行、面面平行的判定與性質，考查了異面直線所成角的定義和余弦定理等知識，屬于中檔題．