Question

已知{a_n}是等差數列，其公差d≠0，且a₂是a₁與a₄的等比中項．（1）求a₁與d的關系式；（2）若{a_n}的部分項依次組成的數列ak1，ak2，ak3，…，akn，…是等比數列，其中k₁=1，k₂=3，試求數列{k_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）由a₂²=a₁a₄，得（a₁+d）²=a₁（a₁+3d），從而可得
（2）由（1）得a_n=nd，由已知得k₁d，k₂d，k₃d，…，k_nd，…是等比數列，由d≠0，知k₁，k₃，k₃，…，k_nd，…，即1，3，k₃，…，k_nd，…也是等比數列，利用等比數列的通項公式可求

解答：（本小題滿分14分）
解：（1）依題設a_n=a₁+（n-1）d，a₂²=a₁a₄，得（a₁+d）²=a₁（a₁+3d），即a₁d=d²，∵d≠0，∴a₁=d；     （4分）
（2）由（1）得a_n=nd，聯系已知得k₁d，k₂d，k₃d，…，k_nd，…是等比數列．（7分）
由d≠0，知k₁，k₃，k₃，…，k_nd，…，即1，3，k₃，…，k_nd，…也是等比數列，（10分）
其首項為1，公比為q=

3

1

=3，（12分）
∴數列{k_n}的通項公式為k_n=3^n-1．（14分）

點評：本題主要考查了等差數列與等比數列的通項公式的綜合運算，等比數列通項目、公式的簡單運用，屬于基礎試題