Question

已知點H（-3，0），點P在y軸上，點Q在x軸正半軸上，點M在PQ上，且滿足

HP

•

PM

=0，

PM

=-

3

2

MQ

．
（1）當點P在y軸上移動時，求點M的軌跡方程C；
（2）給定圓N：x²+y²=2x，過圓心N作直線l，此直線與圓N和（1）中的軌跡C共有四個交點，自上而下順次記為A，B，C，D，如果線段AB，BC，CD的長按此順序構成一個等差數列，求直線l的方程．

Answer 1

考點：軌跡方程,圓與圓錐曲線的綜合

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）設M（x，y），P（0，y'），Q（x'，0），利用已知條件，轉化為坐標運算表達式，求出x′=

1

3

x，(x＞0)，y′=-

1

2

y，消去y'，x'可得軌跡方程．
（2）求出圓N的直徑|BC|=2，圓心N（1，0），設l的方程為x=my+1代入（1）得y²-4my-4=0，設A（x₁，y₁），D（x₂，y₂）利用韋達定理，求出弦長，通過線段AB，BC，CD成一個等差數列，求出變量m，j即可得到直線l的方程．

解答： 解：（1）設M（x，y），P（0，y'），Q（x'，0），
∵

HP

•

PM

=0，

PM

=-

3

2

MQ

，
∴(x，y-y′)=-

3

2

(x′-x，-y)，（3，y'）•（x，y-y'）=0，
∴x′=

1

3

x，(x＞0)，y′=-

1

2

y，
代入3x+yy'-y'²=0，整理得y²=4x（x＞0）．
（2）圓N：（x-1）²+y²=1，直徑|BC|=2，圓心N（1，0），
設l的方程為x=my+1代入y²=4x（x＞0），
得y²-4my-4=0，
設A（x₁，y₁），D（x₂，y₂）則y1+y2=4m，y1y2=-4，|AD|=4(m2+1)，
因為線段AB，BC，CD成一個等差數列，
∴2|BC|=|AB|+|CD|=|AD|-|BC|，
∴|AD|=3|BC|=6，m=±

2

2

，
所以直線l的方程為

2

x-y-

2

=0或

2

x+y-

2

=0．

點評：本題考查軌跡方程的求法，直線與圓的位置關系，等差數列的應用，考查計算能力以及轉化思想．