Question

【題目】已知，設曲線在點處的切線與圓相切．

（1）求函數的單調區間；

（2）求函數在上的值域．

Answer 1

【答案】（1）單調增區間為，單調減區間為；（2）.

【解析】

（1）對函數求導，求得， ，求得過點處的切線的方程為．由直線與圓相切，求得的值，可得導函數取得正負的區間，可得出函數的單調性．

（2）由（1）得在上是增函數，在上是減函數，可得函數的最大值為，再比較與的大小，可求得值域．

（1）函數的定義域為，，， ，

則過點處的切線的方程為，即．

又與圓相切，所以，解得．

由，得，

所以列表如下：

		1
	大于0	0	小于0
	增函數	極大值	減函數

所以函數的單調增區間為，單調減區間為．

（2）由上面的推理可以得到在上是增函數，在上是減函數，

所以的最大值為．

因為，，，

所以，所以，

即，所以函數在上的值域為．