Question

【題目】已知函數在區間上的最大值為9，最小值為1，記

（1）求實數，的值；

（2）若不等式成立，求實數的取值范圍；

（3）定義在上的函數，設，將區間任意劃分成個小區間，如果存在一個常數，使得和式恒成立，則稱函數為在上的有界變差函數.試判斷函數是否為在上的有界變差函數？若是，求的最小值；若不是，請說明理由（表示）

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）是，最小值為10

【解析】

（1）由已知,根據二次函數對稱軸公式:,得的對稱軸為:,結合函數的單調性及最值,即可得到關于,的方程組,進而解得,的值;

（2）由（1）得參數,的值,代入可得函數解析式,根據二次函數的圖像和性質,可將問題轉化為距離軸距離遠近的問題,得到關于的方程,即可求得的取值范圍;

（3）根據有界變差函數的定義,我們先將區間進行劃分,分成,兩個區間進行分別判斷,進而判斷是否恒成立,從而得出結論.

（1） ,是開口向上的二次函數

根據二次函數對稱軸公式:,得的對稱軸為:

由二次函數圖像可知在上是單調遞增故:,

得: 解得:

（2）

又 故為偶函數

畫出圖像:

由圖像可知要保證: 即:

則:或 解得: 或

所以實數的取值范圍為:.

（3） 函數為上的有界變差函數

又 函數為上的單調遞減函數,在上是單調遞增函數

且對任意劃分:

有

恒成立.

且對任意劃分:

有

可得

綜上所述:存在常數,使得恒成立,的最小值為.