Question

已知函數y=a^x（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值與最小值之和為20，記f(x)=

ax

ax+2

．
（1）求a的值；
（2）證明f（x）+f（1-x）=1；
（3）求f(

1

2011

)+f(

2

2011

)+f(

3

2011

)+…+f(

2010

2011

)的值．

Answer 1

分析：（1）因為函數y=a^x（a＞0且a≠1）在[1，2]上單調遞增或單調遞減，所以最大值和最小值一定取到端點處，列方程即可解得a值；（2）利用指數運算性質，代入函數解析式即可化簡證明；（3）注意到和式中的自變量的特點，利用（2）的結論，將所求分組求和即可

解答：解：（1）函數y=a^x（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值與最小值之和為20，
而函數y=a^x（a＞0且a≠1）在[1，2]上單調遞增或單調遞減
∴a+a²=20，得a=4，或a=-5（舍去）
∴a=4
（2）證明：f(x)=

4x

4x+2

∴f(x)+f(1-x)=

4x

4x+2

+

41-x

41-x+2

=

4x

4x+2

+

4 4x

4 4x +2

=

4x

4x+2

+

4

2×4x+4

=

4x

4x+2

+

2

4x+2

=1
（3）由（2）知，f(

1

2011

)+f(

2010

2011

)=1，f(

2

2011

)+f(

2009

2011

)=1，…f(

1005

2011

)+f(

1006

2011

)=1
∴f(

1

2011

)+f(

2

2011

)+f(

3

2011

)+…+f(

2010

2011

)
=[f(

1

2011

)+f(

2010

2011

)]+[f(

2

2011

)+f(

2009

2011

)]+…+[f(

1005

2011

)+f(

1006

2011

)]
=1+1+1+…+1=1005

點評：本題考查了指數函數的單調性及其應用，利用指數運算性質化簡求值，倒序相加的求和思想