Question

已知函數y=a^x（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值與最小值之和為20，記f（x）=

ax

ax+2

．
（1）求a的值；
（2）證明：f（x）+f（1-x）=1；
（3）求f（

1

2013

）+f（

2

2013

）+f（

3

2013

）+…+f（

2010

2013

）+f（

2011

2013

）+f（

2012

2013

）的值．

Answer 1

分析：（1）利用指數函數的單調性，對a進行分類討論，求出最值，得出關于a的方程，并解方程可得a．
（2）按照函數值的定義以及有理數指數冪運算法則計算證明f（x）+f（1-x）=1
（3）由（2）f（x）+f（1-x）=1，對原式按照結合律計算化簡即可．

解答：解：（1）∵y=a^x（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值與最小值之和為20，
∴a＞1時，a²+a=20，解得a=4，
1＞a＞0時，a+a²=20，無解．
綜上所述，a=4．
（2）由（1）得，f（x）=

4x

4x+2

，
f（x）+f（1-x）=

4x

4x+2

+

41-x

41-x+2

=

4x

4x+2

+

4

4 +2•4x

（第二項分子分母同乘以4^x）
=

2•4x

2(4x+2)

+

4

4 +2•4x

=1．
（3）由（2）知，f（

1

2013

）+f（

2012

2013

）=1，
f（

2

2013

）+f（

2011

2013

）=1，
…
f（

1006

2013

）+f（

1007

2013

）=1，
∴原式=1006．

點評：本題考查函數性質的應用以及函數性質的探求能力，考查計算、論證能力．