Question

【題目】如圖1，在邊長為2的正方形ABCD中，P為CD中點，分別將△PAD, △PBC沿 PA,PB所在直線折疊，使點C與點D重合于點O，如圖2．在三棱錐P-OAB中，E為 PB中點．

(Ⅰ)求證：PO⊥AB;

(II）求直線BP與平面POA所成角的正弦值；

(Ⅲ）求二面角P-AO-E的大�。�

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）. （Ⅲ）.

【解析】試題分析：第一問利用幾何體的特征可以得出相應的線線垂直，之后利用線面垂直的判定定理和性質得出所要的結果；第二問建立空間直角坐標系，利用空間向量求得線面角的正弦值；第三問利用面的法向量所成角的余弦值求得角的大小，最后確定出二面角的大小.

（Ⅰ）在正方形中， 為中點， , ，

所以在三棱錐中， ， .

因為，所以平面.

因為平面,所以.

（Ⅱ）取AB中點F，連接OF，取AO中點M，連接BM.

過點O作AB的平行線OG.

因為PO⊥平面OAB，所以PO⊥OF，PO⊥OG.

因為OA＝OB，F為AB的中點，

所以OF⊥AB. 所以OF⊥OG.

如圖所示，建立空間直角坐標系O－xyz.

A，B，P，M(，，0)．

因為BO＝BA，M為OA的中點，所以BM⊥OA.

因為PO⊥平面OAB，PO平面POA，所以平面POA⊥平面OAB.

因為平面POA∩平面OAB＝OA，BM平面OAB，

所以BM⊥平面POA.

因為＝(，－，0)．所以平面POA的法向量m＝.

＝(1，－，1)．

設直線BP與平面POA所成角為α，

則.

所以直線BP與平面POA所成角的正弦值為.

（Ⅲ）由(Ⅱ)知， ， .

設平面的法向量為，則有

即

令，則， . 即.

所以.

由題知二面角P－AO－E為銳角，所以它的大小為.