Question

8．已知動點P（x，y）在橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1上，F為橢圓C的右焦點，若點M滿足|$\overrightarrow{MF}$|=1且$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{MF}$=0，則|$\overrightarrow{PM}$|的最小值為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 依題意知，該橢圓的焦點F（3，0），點M在以F（3，0）為圓心，1為半徑的圓上，當PF最小時，切線長PM最小，作出圖形，即可得到答案．

解答 解：依題意知，點M在以F（3，0）為圓心，1為半徑的圓上，PM為圓的切線，
且$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{MF}$=0，即PM⊥MF，
∴|PM|²=|PF|²-|MF|²，而|MF|=1，
∴當PF最小時，切線長PM最小．

由圖知，當點P為右頂點（5，0）時，|PF|最小，最小值為：5-3=2．
此時|PM|=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點評 本題考查橢圓的標準方程、圓的方程，考查作圖與分析問題解決問題的能力，屬于中檔題．