Question

【題目】已知函數.

（1）若曲線在處切線的斜率為，求此切線方程；

（2）若有兩個極值點，求的取值范圍，并證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）在處切線的斜率為，即，得出，計算f(e)，即可出結論

（2）①有兩個極值點得=0有兩個不同的根，即

有兩個不同的根，令，利用導數求其范圍，則實數a的范圍可求；

有兩個極值點，利用在(e,+∞)遞減，，，，即可證明

（1）∵，∴，解得，

∴，故切點為，

所以曲線在處的切線方程為．

（2），令=0，得．

令，則，

且當時，；當時，；時，．

令，得，且當時，；當時，．

故在遞增，在遞減，所以．

所以當時，有一個極值點； 時，有兩個極值點；

當時，沒有極值點．綜上，的取值范圍是．

（方法不同，酌情給分）

因為是的兩個極值點，所以即…①

不妨設，則，，

因為在遞減，且，所以，即…②．

由①可得，即，

由①，②得，所以．