Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形，PA⊥CD，PA=1，PD=

2

（1）求證：CD∥平面PAB，
（2）求證：PA⊥平面ABCD；
（3）求四棱錐P-ABCD的體積；
（4）求直線PC與平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）由已知得CD∥AB，由此能證明CD∥平面PAB．
（2）由已知得PA⊥AD，PA⊥CD，AD∩CD=D，由此能證明PA⊥平面ABCD．
（3）由已知得四棱錐P-ABCD的底面積為1，四棱錐P-ABCD的高為1，由此能求出四棱錐P-ABCD的體積．（4）由PA⊥平面ABCD，得∠PCA是直線PC與平面ABCD所成角，由此能求出直線PC與平面ABCD所成角的正弦值．

解答： （1）證明：∵四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形，
∴CD∥AB，
∵CD不包含于平面PAB，AB?平面PAB，
∴CD∥平面PAB．
（2）證明：∵四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形，PA=1，PD=

2

，
∴PD²=PA²+AD²，
∴PA⊥AD，
又PA⊥CD，AD∩CD=D，
∴PA⊥平面ABCD．
（3）解：∵四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形，
∴四棱錐P-ABCD的底面積為1，
∵PA⊥平面ABCD，∴四棱錐P-ABCD的高為1，
∴四棱錐P-ABCD的體積為V=

1

3

×1×1=

1

3

．
（4）解：∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PCA是直線PC與平面ABCD所成角，
∵四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形，PA=1，
∴AC=

2

，∴PC=

3

，
∴sin∠PCA=

PA

PC

=

1

3

=

3

3

．
∴直線PC與平面ABCD所成角的正弦值為

3

3

．

點評：本題考查CD∥平面PAB的證明，考查PA⊥平面ABCD的證明，考查求四棱錐P-ABCD的體積的求法，考查直線PC與平面ABCD所成角的正弦值的求法，解題時要注意空間思維能力的培養．