Question

（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講）在極坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)P在曲線C：ρ=

2+2cosθ

sin2θ

上運(yùn)動，則P、A兩點(diǎn)間的距離的最小值是

2

2

．

Answer 1

分析：由在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（2，0），知在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（2，0）．由曲線C：ρ=

2+2cosθ

sin2θ

，知曲線C的普通方程是y²=4（x+1）．所以P（x₀，4（x₀+1）），故P、A兩點(diǎn)間的距離d=

(2-x0)2+[4(x0+1) ]2

=

x02+8

，由此能求出P、A兩點(diǎn)間的距離的最小值．

解答：解：∵在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（2，0），
2cos0=2，2sin0=0，
∴在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（2，0）．
由曲線C：ρ=

2+2cosθ

sin2θ

，
得ρsin²θ=2+2cosθ，
∴（ρsinθ）²=2ρ+2ρcosθ，
∴y²=2ρ+2x，
∴y2-2x=2

x2+y2

，
兩邊平方，得y⁴-4y²x+4x²=4x²+4y²，
整理，得y²=4（x+1）．
∴P（x₀，2

(x0+1)

），
∴P、A兩點(diǎn)間的距離d=

(2-x0)2+4( x0+1)

=

x02+8

，
∴當(dāng)x₀=0時，則P、A兩點(diǎn)間的距離的最小值d_min=

8

=2

2

．
故答案為：2

2

．

點(diǎn)評：本題考查簡單曲線的參數(shù)方程的應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，難度大．解題時要認(rèn)真審題，注意兩點(diǎn)間距離公式的靈活運(yùn)用．