Question

已知函數f(x)=

3

sinxcosx-cos2x．
（I）求f（x）的最小正周期和單調遞增區間；
（II）當x∈[0，

π

2

]時，求函數f（x）的最大值和最小值及相應的x的值．

Answer 1

分析：（I）根據倍角公式及和差角公式，我們可以化簡函數的解析式，進而根據正弦型函數的周期性和單調性，可求出f（x）的最小正周期和單調遞增區間；
（II）當x∈[0，

π

2

]時，-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，結合正弦函數的最值，可求出函數f（x）的最大值和最小值及相應的x的值．

解答：解：（I）f(x)=

3

sinxcosx-cos2x=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-

1

2

=sin(2x-

π

6

)-

1

2

∵ω=2，
∴T=π，即f（x）的最小正周期為π
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ-

π

2

得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

∴f（x）的單調遞增區間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z）
（II）∵x∈[0，

π

2

]
∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

當2x-

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

時，f（x）的最大值為

1

2

當2x-

π

6

=-

π

6

，即x=0時，f（x）的最小值為-1

點評：本題考查的知識點是兩角和與差的正弦函數，熟練掌握正弦型函數的周期性，單調性，最值等性質是解答的關鍵．