Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，雙曲線

x2

2

-

y2

2

=1的漸近線與橢圓有四個交點，以這四個交點為頂點的四邊形的面積為16，則橢圓的方程為（　　）

• A、

  x2

  8

  +

  y2

  2

  =1
• B、

  x2

  12

  +

  y2

  6

  =1
• C、

  x2

  16

  +

  y2

  4

  =1
• D、

  x2

  20

  +

  y2

  5

  =1

Answer 1

分析：由題意，雙曲線

x2

2

-

y2

2

=1的漸近線方程為y=±x，根據以這四個交點為頂點的四邊形的面積為16，可得（2，2）在橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），利用e=

3

2

，即可求得橢圓方程．

解答：解：由題意，雙曲線

x2

2

-

y2

2

=1的漸近線方程為y=±x
∵以這四個交點為頂點的四邊形的面積為16，故邊長為4，
∴（2，2）在橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上
∴

4

a2

+

4

b2

=1，
∵e=

3

2

，∴

a2-b2

a2

=

3

4

，
∴a²=4b²
∴a²=20，b²=5
∴橢圓方程為

x2

20

+

y2

5

=1．
故選D．

點評：本題考查雙曲線的性質，考查橢圓的標準方程與性質，正確運用雙曲線的性質是關鍵．