Question

證明方程x³-3x+c=0在[0，1]上至多有一實根．

Answer 1

【答案】分析：若能證明方程相應的函數在區間[0，1]上單調函數則可證明相應方程在[0，1]上至多有一實根，故解決問題的方案是先證其單調性，判斷方程相應函數的性質．
解答：證明：設f（x）=x³-3x+c，則f'（x）=3x²-3=3（x²-1）．
當x∈（0，1）時，f'（x）＜0恒成立．
∴f（x）在（0，1）上單調遞減．
∴f（x）的圖象與x軸最多有一個交點．
因此方程x³-3x+c=0在[0，1]上至多有一實根
點評：本題考查用函數的性質來探究方程在某一個區間里的根的個數問題，此轉化甚妙．