Question

證明方程x³-3x+1=0在區間（1，2）內必有一根，并求出這個根的近似值（精確到0.01）.

Answer 1

證明：令f(x)=x³-3x+1，則f(x)在區間［1，2］上的圖象是一條連續不斷的曲線.

    ∵f(1)=1-3+1=-1＜0,

    f(2)=8-6+1=3＞0,

    ∴f(1)·f(2)＜0,

    ∴函數f(x)在區間（1，2）內必有一零點，

    ∴方程x³-3x+1=0在區間（1，2）內必有一根x₀.

    取區間(1,2)的中點x₁=1.5，

    用計算器算得f(1.5)=-0.125.

    因為f(1.5)·f(2)＜0,

    所以x₀∈(1.5,2).

    再取(1.5,2)的中點x₂=1.75，

    用計算器算得f(1.75)=1.109 375.

    因為f(1.5)·f(1.75)＜0，

    所以x₀∈（1.5,1.75）.

    又取（1.5,1.75）的中點x₃=1.625.

    用計算器算得f(1.625)=0.416 015 625.

    因為f(1.5)·f(1.625)＜0,

    所以x₀∈(1.5,1.625).

    取（1.5,1.625）的中點x₄=1.562 5,

    用計算器算得f(1.562 5)=0.127 197 265 625.

    因為f(1.5)·f(1.562 5)＜0,

    所以x₀∈(1.5,1.562 5).

    取（1.5,1.562 5）的中點x₅=1.531 25時，

    用計算器算得

    f(1.531 25)=-0.003 387 451 171 875.

    因為f(1.531 25)·f(1.562 5)＜0,

    所以x₀∈(1.531 25,1.562 5).

    取（1.531 25,1.562 5）的中點

    x₆=1.546 875時，

    用計算器算得

    f(1.546 875)=0.060 771 942 138 671 875.

    因為f(1.531 25)·f(1.546 875)＜0,

    所以x₀∈(1.531 25,1.546 875).

    同理，可算得  f(1.531 25)·f(1.539 062 5)＜0，

    x₀∈(1.531 25,1.539 062 5);f(1.531 25)·

    f(1.535 156 25)＜0,x₀∈(1.531 25,1.535 156 25).

    又當取（1.531 25,1.535 156 25）的中點x₉=1.533 203 125時，

    f(1.531 25)·f(1.533 203 125)＜0，

    即x₀∈(1.531 25,1.533 203 125).

    由于|1.531 25-1.533 203 125|=0.001 953 125＜0.01,

    此時區間（1.531 25,1.533 203 125）的兩個端點精確到0.01的近似值都是1.53，所以原方程精確到0.01的近似值為1.53.