Question

已知函數(shù)f(x)=

3x-2-x

3x+2-x

．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）判斷并證明f（x）的單調(diào)性，寫(xiě)出f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷f（x）的奇偶性；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義判斷和證明函數(shù)的單調(diào)性．

解答：解：（1）∵f(x)=

3x-2-x

3x+2-x

=

2x•3x-1

2x•3x+1

=

6x-1

6x+1

∴f(-x)=

6-x-1

6-x+1

=

1-6x

1+6x

=-f(x)，x∈R，則f（x）是奇函數(shù)．
（2）f(x)=

6x-1

6x+1

=

(6x+1)-2

6x+1

=1-

2

6x+1

在R上是增函數(shù)，
證明如下：任意取x₁，x₂，
使得：x1＞x2∴6x1＞6x2＞0
則f(x1)-f(x2)=

2

6x2+1

-

2

6x1+1

=

2(6x1-6x2)

(6x1+1)(6x2+1)

＞0
∴f（x₁）＞f（x₂），
則f（x）在R上是增函數(shù)．
∵0＜

2

6x+1

＜2，
∴f(x)=1-

2

6x+1

∈(-1，1)，
則f（x）的值域?yàn)椋?1，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，以及函數(shù)單調(diào)性的定義的應(yīng)用，要求熟練掌握函數(shù)單調(diào)性的定義．