Question

2．如圖在正方體AC₁中，直線BC₁與平面A₁BD所成的角的余弦值是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 設正方體的棱長等于1，建立空間直角坐標系，得出D、B、C₁、A₁各點的坐標，從而得出 $\overrightarrow{B{C}_{1}}$、$\overrightarrow{{A}_{1}D}$、$\overrightarrow{BD}$的坐標，利用垂直向量數量積為零的方法建立方程組解出 $\overrightarrow{n}$=（1，-1，-1）是平面A₁BD的一個法向量，利用向量的夾角公式算出cos＜$\overrightarrow{B{C}_{1}}$，$\overrightarrow{n}$＞的值，即得直線BC₁與平面A₁BD所成角的正弦值，最后利用同角三角函數關系可得直線BC₁與平面A₁BD所成角的余弦值．

解答 解：分別以DA、DC、DD₁為x、y、z軸建立如圖所示空間直角坐標系
設正方體的棱長等于1，可得
D（0，0，0），B（1，1，0），C₁（0，1，1），A₁（1，0，1），
∴$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（-1，0，-1），$\overrightarrow{BD}$=（-1，-1，0）
設$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面A₁BD的一個法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}D}=-x-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=-x-y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得y=z=-1
∴平面A₁BD的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-1）
設直線BC₁與平面A₁BD所成角為θ，則
sinθ=|cos＜$\overrightarrow{B{C}_{1}}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{\overrightarrow{B{C}_{1}}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{B{C}_{1}}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$
∴cosθ=$\sqrt{1-si{n}^{2}θ}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即直線BC₁與平面A₁BD所成角的余弦值是$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故選：B．

點評 本題給出正方體模型，求直線與平面所成角的余弦值，著重考查了正方體的性質、利用空間向量研究直線與平面所成角等知識，屬于中檔題．