Question

【題目】已知函數(shù)（，）.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，，求k的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析（2）或

【解析】

（1）將函數(shù)求導(dǎo)并化簡(jiǎn)，對(duì)分成兩種情況，討論函數(shù)的單調(diào)性.（2）原不等式即（），當(dāng)時(shí)，上述不等式顯然成立.當(dāng)時(shí)，將不等式變?yōu)?/span>，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，由此求得的取值范圍.

解：（1） ．

①若，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減．

②若，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增．

∴當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

（2）（），

當(dāng)時(shí)，上不等式成立，滿足題設(shè)條件；

當(dāng)時(shí)，，等價(jià)于，

設(shè)，則 ，

設(shè)（），則，

∴在上單調(diào)遞減，得．

①當(dāng)，即時(shí)，得，，

∴在上單調(diào)遞減，得，滿足題設(shè)條件；

②當(dāng)，即時(shí)，，而，

∴，，又單調(diào)遞減，

∴當(dāng)，，得，

∴在上單調(diào)遞增，得，不滿足題設(shè)條件；

綜上所述，或．