Question

【題目】某校在高二年級實行選課走班教學，學校為學生提供了多種課程，其中數學科提供5種不同層次的課程，分別稱為數學1、數學2、數學3、數學4、數學5，每個學生只能從這5種數學課程中選擇一種學習，該校高二年級1800名學生的數學選課人數統計如表：

課程	數學1	數學2	數學3	數學4	數學5	合計
選課人數	180	540	540	360	180	1800

為了了解數學成績與學生選課情況之間的關系，用分層抽樣的方法從這1800名學生中抽取了10人進行分析．
（1）從選出的10名學生中隨機抽取3人，求這3人中至少有2人選擇數學2的概率；
（2）從選出的10名學生中隨機抽取3人，記這3人中選擇數學2的人數為X，選擇數學1的人數為Y，設隨機變量ξ=X﹣Y，求隨機變量ξ的分布列和數學期望E（ξ）．

Answer 1

【答案】
（1）解：從選出的10名學生中選修數學1的人應為10× =1人，選修數學2的人應為10× =3人，選修數學3的人應為10× =3人，選修數學4的人應為10× =1人，選修數學1的人應為10× =1人．

從選出的10名學生中隨機抽取3人共有 =120種選法，選出的這3人中至少有2人選擇數學2的有 + =22種

，∴這3人中至少有2人選擇數學2的概率P= =

（2）解：X的可能取值為0，1，2，3．Y的可能取值為0，1．ξ的可能取值為﹣1，0，1，2，3．

P（ξ=﹣1）=P（X=0，Y=1）= = ．

P（ξ=0）=P（X=0，Y=0）+P（X=1，Y=1）= = ．

P（ξ=1）=P（X=1，Y=0）+P（X=2，Y=1）= = ．

P（ξ=2）=P（X=2，Y=0）= = ．

P（ξ=3）=P（X=3，Y=0）= = ．ξ的分布列為：

ξ	﹣1	0	1	2	3
P

∴Eξ=﹣1× +0× +1× +2× +3× =

【解析】（1）從選出的10名學生中選修數學1的人應為10× =1人，同理可得選修數學2的人應為3人，選修數學3的人應為3人，選修數學4的人應為1人，選修數學1的人應為1人．從選出的10名學生中隨機抽取3人共有 =120種選法，選出的這3人中至少有2人選擇數學2的有 + =22種，即可得出這3人中至少有2人選擇數學2的概率P．（2）X的可能取值為0，1，2，3．Y的可能取值為0，1．ξ的可能取值為﹣1，0，1，2，3．P（ξ=﹣1）=P（X=0，Y=1）= ，P（ξ=0）=P（X=0，Y=0）+P（X=1，Y=1）= ．P（ξ=1）=P（X=1，Y=0）+P（X=2，Y=1）= ．P（ξ=2）=P（X=2，Y=0）= ．P（ξ=3）=P（X=3，Y=0）= ．即可得出ξ的分布列及其Eξ．