Question

設函數，其中是的導函數.
，
(1)求的表達式；
(2)若恒成立，求實數的取值范圍；
(3)設，比較與的大小，并加以證明.

Answer 1

（1）；（2）；（3），證明見解析.

試題分析：（1）易得，且有，當且僅當時取等號，當時，，當時，由，得，所以數列是以為首項，以1為公差的等差數列，繼而得，經檢驗，所以；
在范圍內恒成立，等價于成立，令 ，即成立，，令，得，分和兩種情況討論，分別求出的最小值，繼而求出的取值范圍；
（3）由題設知：，，比較結果為：，證明如下：上述不等式等價于
在（2）中取，可得，令，則，即，使用累加法即可證明結論.
試題解析：，，
（1）
，，，，即，當且僅當時取等號
當時，
當時

，，即
數列是以為首項，以1為公差的等差數列


當時，

（2）在范圍內恒成立，等價于成立
令，即恒成立，

令，即，得
當即時，在上單調遞增

所以當時，在上恒成立；
當即時，在上單調遞增，在上單調遞減，
所以
設

因為，所以，即，所以函數在上單調遞減
所以，即
所以不恒成立
綜上所述，實數的取值范圍為
（3）由題設知：，

比較結果為：
證明如下：
上述不等式等價于
在（2）中取，可得
令，則，即
故有


上述各式相加可得：
結論得證.