Question

已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)，且曲線在點處的切線的斜率為.
（1）確定的值；
（2）若，判斷的單調(diào)性；
（3）若有極值，求的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）增函數(shù)；（3）.

試題分析：（1）由
因為是偶函數(shù)，所以，又曲線在點處的切線的斜率為，所以有，利用以上兩條件列方程組可解的值；
（2）由（1），，當(dāng)時，利用的符號判斷的單調(diào)性；
（3）要使函數(shù)有極值，必須有零點，由于，所以可以對的取值分類討論，得到時滿足條件的的取值范圍.
解：（1）對求導(dǎo)得，由為偶函數(shù)，知，
即，因，所以
又，故.
（2）當(dāng)時，，那么

故在上為增函數(shù).
（3）由（1）知，而，當(dāng)時等號成立.
下面分三種情況進(jìn)行討論.
當(dāng)時，對任意，此時無極值；
當(dāng)時，對任意，此時無極值；
當(dāng)時，令，注意到方程有兩根，
即有兩個根或.
當(dāng)時，；又當(dāng)時，從而在處取得極小值.
綜上，若有極值，則的取值范圍為.