Question

【題目】已知橢圓方程為．

（1）設橢圓的左右焦點分別為、，點在橢圓上運動，求的值；

（2）設直線和圓相切，和橢圓交于、兩點，為原點，線段、分別和圓交于、兩點，設、的面積分別為、，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）設點，由該點在橢圓上得出，然后利用距離公式和向量數量積的坐標運算求出的值；

（2）分直線的斜率不存在與存在兩種情況討論，在直線的斜率不存在時，可求得，在直線的斜率存在時，設直線的方程為，設點、，根據直線與圓相切，得出，并將直線的方程與橢圓方程聯立，列出韋達定理，將表示為的函數，轉化為函數的值域的求解，綜合可得出答案.

（1）由已知，，設，

由，

同理，可得，

．

結合，得，故；

（2）當直線l的斜率不存在時，其方程為，

由對稱性，不妨設，此時，故．

若直線的斜率存在，設其方程為，

由已知可得，則，

設、，將直線與橢圓方程聯立，

得，

由韋達定理得，．

結合及，

可知．

將根與系數的關系代入整理得：

，

結合，得．

設，，

則．

的取值范圍是．