Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知定點，點A在x軸的非正半軸上運動，點B在y軸上運動，滿足，A關于點B的對稱點為M，設點M的軌跡為曲線C.

（1）求C的方程；

（2）已知點，動直線與C相交于P，Q兩點，求過G，P，Q三點的圓在直線上截得的弦長的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根據點A在x軸的非正半軸上運動，點B在y軸上運動，設，再由 ， ，得到a，b的關系式，然后由A關于點B的對稱點為M，得到，利用代入法化簡求解.

（2）由拋物線與直線相交，設，根據關于軸對稱，得到過G，P，Q三點的圓的圓心在x軸上，設圓心為，由，運用兩點間的距離公式求得圓的方程，令，得到圓E在直線上截得的弦長，再結合基本不等式求最小值.

（1）因為點A在x軸的非正半軸上運動，點B在y軸上運動，

所以設，

因為 ， ，

所以，

因為A關于點B的對稱點為M，

所以 ，

即 ，

代入式得，

所以曲線C的方程是.

（2）由（1）知拋物線的方程為，

直線與拋物線方程聯立解得，，

設，

因為關于軸對稱，所以過G，P，Q三點的圓的圓心在x軸上，

設圓心為，

所以，即，

解得，

所以圓E的方程為，

令，的，

所以圓E在直線上截得的弦長為，

因為，

所以，

，

當且僅當，即時，取等號，

所以當時，圓E在直線上截得的弦長的最小值為.