Question

已知函數f（x）=（2-a）x-2lnx，（a∈R）
（I）若函數f（x）在x=1處取得極值，求實數a的值；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調區間．

Answer 1

解：由題意知函數f（x）的定義域為（0，+∞）
（I）求導函數，可得f′（x）=2-a-，令f′（x）=0得2-a-=0，
∵函數f（x）在x=1處取得極值，∴f′（1）=2-a-2=0
∴a=0；
（II）由（I）得，x=可能為f（x）的極值點，
（1）當a=2時，f′（x）=-＜0，f（x）的單調減區間為（0，+∞），
（2）當a＞2時，f′（x）=2-a-在（0，+∞）上小于0，f（x）的單調減區間為（0，+∞），
（3）當a＜2時，f′（x）=2-a-，當x＞時，f′（x）＞0，f（x）單調增，當x＜時，f′（x）＜0，f（x）單調減，
綜上，當a≥2時，f（x）的單調減區間為（0，+∞），當a＜2時，f（x）單調增區間（，+∞），f（x）單調減區間（0，）．
分析：（I）由題意知函數f（x）的定義域為（0，+∞），求導函數，利用函數函數f（x）在x=1處取得極值，即f′（1）═0，可求a的值；
（II）由（I）得，x=可能為f（x）的極值點，下面對a的值進行分類討論：（1）當a=2時（2）當a＞2時（3）當a＜2時，由導數的正負，即可得到函數f（x）的單調區間．
點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的極值與單調性，正確求導是關鍵．