Question

【題目】如圖1，在△中， ， 分別為， 的中點， 為的中點， ， ．將△沿折起到△的位置，使得平面平面， 為的中點，如圖2．

（1）求證： 平面；

（2）求證：平面平面；

（3）線段上是否存在點，使得平面？說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析

【解析】試題分析：（1）取線段的中點，由三角形中位線性質以及平行四邊形性質得四邊形為平行四邊形，即得．再根據線面平行判定定理得結論，（2）先根據等腰三角形性質得．再根據面面垂直性質定理得平面，即得，根據勾股定理得，所以由線面垂直判定定理得 平面，最后根據面面垂直判定定理得結論，（3）假設線段上存在點，使得平面，則，與條件矛盾.

試題解析：

解：（1）取線段的中點，連接， ．

因為在△中， ， 分別為， 的中點，所以 ， ．

因為 ， 分別為， 的中點，所以 ， ，

所以 ， ，所以 四邊形為平行四邊形，所以 ．

因為 平面， 平面，所以 平面．

（2）因為在△中， ， 分別為， 的中點，所以 ．

所以，又為的中點，

所以 ．

因為平面平面，且平面，

所以 平面，所以 ．

在△中， ，易知 ，

所以 ，所以 平面，

所以 平面平面．

（3）線段上不存在點，使得平面．

否則，假設線段上存在點，使得平面，

連接 ， ，則必有 ，且．

在△中，由為的中點， ，得為的中點．

在△中，因為，所以，

這顯然與， 矛盾！

所以線段上不存在點，使得平面．