Question

如圖，△ABC是圓O的內接三角形，AC=BC，D為圓O中上一點，延長DA至點E，使得CE=CD．
（1）求證：AE=BD；
（2）若AC⊥BC，求證：AD+BD=CD．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據在△ABC、△ECD中∠ACE=∠BCD、CE=CD、AC=BC，可得到△ACE≌△BCD，再根據對應邊相等得到AE=BD，得證．
（2）當AC⊥BC時，在△ECD中有∠ECD=90°，∠CED=∠CDE=45°，進而可得到DE=CD，再結合AD+BD=AD+EA=ED可知AD+BD=CD，從而得證．
解答：證明：（1）在△ABC中，AC=BC∴∠CAB=∠CBA．
在△ECD中，CE=CD∴∠CED=∠CDE．
∵∠CBA=∠CDE，∴∠ACB=∠ECD．
∴∠ACB-∠ACD=∠ECD-∠ACD．
∴∠ACE=∠BCD．
又CE=CD，AC=BC，
∴△ACE≌△BCD．
∴AE=BD．
（2）若AC⊥BC，
∵∠ACB=∠ECD，
∴∠ECD=90°，∠CED=∠CDE=45°．
∴DE=CD．
又∵AD+BD=AD+EA=ED，
∴AD+BD=CD．
點評：本題主要考查三角形的全等和直線與圓的位置關系．高考對直線與圓的方程的考查以基礎題為主，平時要多積累基礎知識，這樣到考試時才不會手忙腳亂．