Question

8．已知$f（x）=\frac{{p{x^2}+8}}{3x+q}$是奇函數，且$\frac{5}{2}＜f（2）＜3，p∈Z$，
（1）求實數p，q的值；
（2）判斷函數f（x）在（-∞，-2）上的單調性，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）利用f（-x）=-f（x），求出q，利用$\frac{5}{2}＜f（2）＜3，p∈Z$，求出p；
（2）利用導數的方法，判斷、證明函數f（x）在（-∞，-2）上的單調性．

解答 解：（1）∵$f（x）=\frac{{p{x^2}+8}}{3x+q}$是奇函數，
∴f（-x）=-f（x），即$\frac{p{x}^{2}+8}{-3x+q}$=-$\frac{p{x}^{2}+8}{3x+q}$，∴q=0．
∵$\frac{5}{2}＜f（2）＜3，p∈Z$，
∴$\frac{5}{2}$＜$\frac{4p+8}{6}$＜3，∴p=2；
（2）函數f（x）在（-∞，-2）上單調遞增，證明如下：
f（x）=$\frac{2{x}^{2}+8}{3x}$=2x+$\frac{8}{3x}$，f′（x）=2-$\frac{8}{3{x}^{2}}$，
∵x＜-2，∴f′（x）＞0，
∴函數f（x）在（-∞，-2）上單調遞增．

點評 本題考查函數的奇偶性、單調性，考查導數知識的運用，屬于中檔題．