Question

命題：公差不為0的等差數(shù)列的通項(xiàng)可以表示為關(guān)于n的一次函數(shù)形式，反之通項(xiàng)是關(guān)于n的一次函數(shù)形式的數(shù)列為等差數(shù)列為真，現(xiàn)有正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和是S_n，若{a_n}和{

Sn

}都是等差數(shù)列，且公差相等，則數(shù)列{a_n}的一個(gè)通項(xiàng)公式為（　　）

• A．

  2n-1

  4

• B．

  2n+1

  4

• C．2n-1
• D．2n+1

Answer 1

分析：設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，寫出其前n項(xiàng)和公式，再由{

Sn

}都是等差數(shù)列寫出通項(xiàng)公式，兩邊平方后由S_n相等列式，并有等式恒成立求出d的值，進(jìn)一步求出首項(xiàng)，則答案可求．

解答：解：設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的公差為d，首項(xiàng)a₁，
Sn=na1+

n(n-1)d

2

，

Sn

=

S1

+(n-1)d=

a1

+(n-1)d
平方得，
Sn=a1+2

a1

(n-1)d+(n-1)2d2
na1+

n(n-1)d

2

=a1+2

a1

(n-1)d+(n-1)2d2．
整理得，n(

d

2

-d2)=2

a1

d-d2-a1，
因?yàn)閷?duì)任意n∈N₊都成立，所以

d

2

-d2=0，又d≠0．
所以d=

1

2

，代入2

a1

d-d2-a1=0得a1=

1

4

．
所以an=a1+(n-1)d=

1

4

+

1

2

(n-1)=

2n-1

4

．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，訓(xùn)練了利用等式恒成立求系數(shù)的值，考查了計(jì)算能力，是中檔題．