Question

（2012•重慶）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足S_n+1=a₂S_n+a₁，其中a₂≠0．
（I）求證：{a_n}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列；
（II）若a₂＞-1，求證Sn=

n

2

(a1+an)，并給出等號(hào)成立的充要條件．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)S_n+1=a₂S_n+a₁，再寫一式，兩式相減，即可證得{a_n}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列；
（II）當(dāng)n=1或2時(shí)，Sn=

n

2

(a1+an)等號(hào)成立，設(shè)n≥3，a₂＞-1，且a₂≠0，由（I）知a₁=1，an=a2n-1，所以要證的不等式可化為1+a2+… +a2n-1≤

n

2

(1+a2n-1)（n≥3），即證1+a2+… +a2n≤

n+1

2

(1+a2n)（n≥2），a₂=1時(shí)，等號(hào)成立；再證明a₂＞-1且a₂≠1時(shí)，（a2n-1）（a2n-1-1）＞0，即可證得結(jié)論．

解答：證明：（I）∵S_n+1=a₂S_n+a₁，①
∴S_n+2=a₂S_n+1+a₁，②
②-①可得：a_n+2=a₂a_n+1
∵a₂≠0，∴

an+2

an+1

=a2
∵S_n+1=a₂S_n+a₁，∴S₂=a₂S₁+a₁，∴a₂=a₂a₁
∵a₂≠0，∴a₁=1
∴{a_n}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列；
（II）當(dāng)n=1或2時(shí)，Sn=

n

2

(a1+an)等號(hào)成立
設(shè)n≥3，a₂＞-1，且a₂≠0，由（I）知a₁=1，an=

a

n-1 2

，所以要證的不等式可化為
1+a2+… +a2n-1≤

n

2

(1+a2n-1)（n≥3）
即證1+a2+… +a2n≤

n+1

2

(1+a2n)（n≥2）
a₂=1時(shí)，等號(hào)成立
當(dāng)-1＜a₂＜1時(shí)，a2n-1與a2n-1-1同為負(fù)；
當(dāng)a₂＞1時(shí)，a2n-1與a2n-1-1同為正；
∴a₂＞-1且a₂≠1時(shí)，（a2n-1）（a2n-1-1）＞0，即a2n+a2n-1＜ 1+a2n
上面不等式n分別取1，2，…，n累加可得2(a2+… +a2n-1)＜(n-1)(1+a2n)
∴1+a2+… +a2n≤

n+1

2

(1+a2n)
綜上，Sn≤

n

2

(a1+an)，等號(hào)成立的充要條件是n=1或2或a₂=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的證明，考查不等式的證明，考查疊加法的運(yùn)用，需要一定的基本功，屬于中檔題．